si on considère \)G=\mathcal G(n,p)\( avec \)p=\frac\lambda n\(, (\)\lambda\( désigne le nombre de voisin moyen d'un sommet), alors
si \)\lambda\lt 1\( (cas sous-critique), il existe une fonction \)f\( tq \)${\Bbb P}(C(1)\leqslant f(\lambda)\ln(n)){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$
interprétation : toute composante connexe est, avec probabilité tendant vers \(1\), de taille au plus logarithmique en \(n\)
si \(\lambda\gt 1\) (cas surcritique), il existe une fonction \(g\) tq \(\forall\delta\gt 0\), $${\Bbb P}\left(\left|\frac{C(1)}{n-(1-p_{\text{ext} } )}\right|\leqslant\delta\quad\text{ et }\quad C(2)\leqslant g(\lambda)\ln(n)\right){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$avec \(p_{\text{ext} }\) la Probabilité d'extinction dans un Processus de branchement de Galton-Watson associé à \(\mathcal{Pois}(\lambda)\)
interprétation : il y a une seule composante très grande (sa taille asymptotique est de l'ordre de \(n(1-p_{\text{ext} })\)), et les autres composantes sont de taille au plus logarithmique
